教学目的、要求
本课程是地球物理学和大气科学各专业研究生的学科基础课，物理海洋学和自然地理学研究生的专业基础课，同时也可作为地球科学其他专业、环境科学、物理、力学、化学、工程学和应用数学专业研究生的选修课。 本课程分析解法和数值解法并举，从一维到多维，从简单区域到复杂区域，学习适定问题的分离变量、广义Fourier分析、Green函数等经典内容, 学习极大原理、能量估计、弱解、非适定问题的正则解法和直接方法，平行引入有限差分方法和Galerkin方法，学习并行计算的基本概念和方法。借助计算机代数系统SciLab，用数值实验理解理论。 本课程根据地球科学研究生数理基础实际和未来科学研究需求设置，低起点、大跨度、多侧面地学习偏微分方程理论和解法，培养学生分析解决科学计算中遇到的偏微分方程的定解问题的能力。
预修课程
多元微积分，线性代数，常微分方程
教材
(1) 马石庄, 《偏微分方程与科学计算导论》，中国科学院研究生院讲义, 北京，2002. (2) 薛兴恒，《数学物理偏微分方程》，394页，中国科学技术大学出版社，合肥，1995. (3) Heath, M. T., Scientific Computing: An Introductory Survey, Second Edition, 563p, 清华大学出版社, McGraw -Hill Com. Inc., 2002.
主要内容
第一章 绪论: 科学计算的核心 种群演化的数学模型；守恒律与微分方程；线性叠加原理；解算科学问题；计算复杂性；现代并行计算；计算机代数系统 第二章 一维对流-扩散方程初值问题 特征线解法；追赶问题与解的爆破；激波与整体解；KdV方程与孤立波；非线性Burgers方程；扩散方程Cauchy问题；广义函数与Green函数；Duhamel原理 第三章 一维Poisson方程边值问题 初值与边值问题；一维Poisson方程Green函数解；两点边值问题变分形式；Ritz-Galerkin方法；差分格式的稳定性和收敛性；一维Poisson方程差分解法；积分插值构造差分格式；离散Laplace算子的本征值问题 第四章 一维发展方程的混合问题 弱极值原理；第一边值问题的最大模估计；发展方程的变分形式；一维发展方程混合问题Green函数；显格式与隐格式；线上方法；对流方程的迎风格式；对流-扩散方程的差分解法 第五章 分离变量和本征值问题 Helmholtz方程；Sturm-Liouville 本征值问题；Green公式与自伴算子；本征值问题的变分形式；WKBJ方法；Fourier级数与Fourier变换；奇异本征值问题；柱函数；球函数；Green函数的谱表示 第六章 多维Poisson方程的近似解法 离散Poisson方程；快速解法；基本迭代方法；Samarsky定理；Fourier谱方法；Chebyshev谱方法；Schwarz定理；重叠区域分解方法；多重网格 第七章 位势理论 调和函数；弱极值定理；Hopf引理与强极值原理；基本恒等式；基本解与Green函数；Poisson积分公式；Kirchhoff公式与延迟势；降维法与Huygens原理 第八章 积分方程 积分方程的分类；Sturm-Liouville问题；单层势与双层势；Fredholm择一定理 退化核积分方程；Nuemann序列；积分方程的预解核