教学目的、要求
本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括极限、连续性、导数及应用、不定积分、定积分、级数、傅里叶级数、多变量函数微分学、重积分、曲线和曲面积分、含参变量的积分等。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。微积分同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的微积分的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。本课程分三个学期讲授,第一、二学期讲授72学时,习题课36课时。第三学期讲授56课时,习题课28课时。
预修课程
教材
B.A.卓里奇著,《数学分析》, 高等教育出版社, 2005年
主要内容
第一章 实数
1 特殊实数类以及它们的基本性质
2 戴德金分割和确界原理
3 实数完备性的若干基本引理
第二章 极限
1 数列的极限
2 收敛数列的性质
3 Cauchy 收敛原理
4 函数的极限
第三章 连续函数
1 连续函数的定义
2 连续函数的性质
3 初等函数的连续性
第四章 导数
1 导数的概念
2 求导法则
3 参变量函数的导数
4 高阶导数
第五章 微分
1 可微性与微分
2 微分学基本定理
3 微分与函数性质
4 微分在自然科学中的应用
第六章 不定积分
1 不定积分概念与基本积分公式
2 换元积分法与分部积分法
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
第七章 定积分
1 定积分概念
2 牛顿-莱布尼茨公式
3 可积条件
4 定积分的性质
5 微积分基本定理
6 定积分的应用
第八章 反常积分
1 反常积分概念
2 无穷积分的性质与收敛判别
3 具有奇异点的反常积分
第九章 数项级数
1 级数的收敛性
2 正项级数
3 一般项级数
第十章 函数列与函数项级数
1 一致收敛性
2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十一章 幂级数
1 幂级数
2 函数的幂级数展开
3 复变量的指数函数•欧拉公式
第十二章 傅里叶级数
1 傅里叶级数
2 以2π为周期的函数的展开式
3 收敛定理的证明
第十三章 多元函数的极限与连续
1 平面点集与多元函数
2 二元函数的极限
3 二元函数的连续性
第十四章 多元函数微分学
1 可微性
2 复合函数微分法
3 方向导数与梯度
4 泰勒公式与极值问题
第十五章 隐函数定理及其应用
1 隐函数
2 隐函数组
3 几何应用
4 条件极值
第十六章 含参量积分
1 含参量正常积分
2 含参量反常积分
3 欧拉积分
第十七章 曲线积分
1 第一型曲线积分_
2 第二型曲线积分.0
第十八章 重积分
1 二重积分的概念
2 直角坐标系下二重积分的计算
3 格林公式•曲线积分与路线的无关性
4 二重积分的变量变换
5 多重积分
6 重积分变量变换公式
7 反常重积分
第十九章 曲面积分
1 第一型曲面积分
2 第二型曲面积分
3 高斯公式与斯托克斯公式
第二十章 向量分析与场论初步
1 向量函数
2 向量分析的微分运算
3 场论的积分公式
4 势场
第二十二章 渐近展开
1 渐近公式和渐近级数
2 渐近积分